Cijferreeksen Uitleg

Cijferreeksen - veel voorkomende patronen

Op deze pagina behandelen we de meest voorkomende patronen en leggen we uit hoe je deze patronen in de opgaven kunt herkennen. Lees deze pagina goed door voordat je begint met oefenen, daardoor zal het oefenen veel effectiever worden! In de test die je uiteindelijk zult doen, zullen misschien nog meer patronen voorkomen dan hier worden behandeld, maar je bent in elk geval voorbereid op de patronen die het meeste voorkomen.

Als we een helicopterview toepassen op de cijferreeksen, zijn er grofweg zes verschillende soorten hoofdpatronen te herkennen. Binnen deze patronen zijn er soms weer veel verschillende mogelijkheden, maar het is belangrijk zo vroeg mogelijk te zien wat voor soort hoofdpatroon er waarschijnlijk van toepassing zal zijn bij een opgave. De volgende patronen komen veel voor:

  1. Monotoon patroon - De verschillen tussen opeenvolgende getallen zijn zeer vergelijkbaar van grootte en er wordt steeds dezelfde handeling verricht om tot het volgende getal te komen. Het gaat vrijwel altijd om optellen of aftrekken.
  2. Exponentieel patroon - De verschillen tussen opeenvolgende getallen worden snel groter of kleiner, maar er wordt wel steeds dezelfde handeling verricht om tot het volgende getal te komen. Er is bijna altijd sprake van vermenigvuldiging of delen.
  3. Afwisselend patroon - Bovenstaande verbanden worden afgewisseld. Van getal 1 naar getal 2 in de reeks is er bijvoorbeeld sprake van optellen, maar van getal 2 naar getal 3 wordt er vermenigvuldigd.
  4. Twee reeksen in één - Bij dit patroon zijn er eigenlijk twee reeksen, die door elkaar heen lopen. Getal 1,3,5 zijn een reeks en getal 2,4,6 zijn een reeks.
  5. Uitzonderingen - Bijvoorbeeld een Fibonacci reeks, waarbij een getal wordt opgebouwd uit de twee voorgaande getallen in de reeks.
  6. Breuken - Vaak worden hier twee reeksen toegepast, een boven de deelstreep en een onder de deelstreep. Soms is ook “gewoon” een van de andere patronen van toepassing, alleen wordt het nu op een breuk toegepast.

Uiteraard zijn er ook reeksen die een beetje invallen tussen de verschillende hoofdverbanden, maar ook deze worden behandeld zodat je ze steeds beter zult herkennen.

Begin direct met het oefenen van cijferreeksen

Example 1.png

Monotoon verband

Bij een monotoon verband, zijn de stappen tussen de verschillende getallen ongeveer of precies even groot. Daarnaast zullen de getallen of steeds groter worden, of steeds kleiner. Aangezien de stappen steeds ongeveer even groot zijn, zal er alleen sprake zijn van optellen of aftrekken. Het simpelste voorbeeld van een monotoon verband is:

1.....3.....5.....7.....?

Niet veel mensen zullen problemen hebben met het vinden van het patroon in het bovenstaande voorbeeld, het antwoord is 9. Ook een monotoon aftrekverband is makkelijk te herkennen.

15.....12.....9.....6.....?

Het antwoord is 3. Er zijn echter variaties op een monotoon verband mogelijk, die hem soms moeilijker te herkennen maken. In sommige gevallen lijkt een monotone reeks zelfs bijna op een exponentieel verband. Kijk bijvoorbeeld naar de volgende reeks.

2.....6.....15.....29.....?

Je ziet hier dat de getallen steeds sneller groter worden en je zou kunnen denken dat er daarom sprake is van een exponentieel verband. Dit is echter niet het geval. Je zou dit kunnen zien doordat de getallen duidelijk niet met iets vermenigvuldigd worden. Teken daarom de optelboogjes.

Cijferreeksen voorbeeld 1.png


Je ziet nu al een reeks ontstaan. Je kunt nog een keer de optelboogjes tekenen om het helemaal duidelijk te hebben. Zo zorg je er ook voor dat je geen fouten maakt.

Cijferreeksen Example 2.png



Je kunt ook een reeks hebben waarbij het verschil steeds kleiner wordt. Bijvoorbeeld:

2.....17.....30.....41.....?

Deze reeks los je op dezelfde manier op.

Example 3.png



Hetzelfde soort reeks kun je ook tegenkomen bij een aftrekpatroon. Bijvoorbeeld bij het volgende patroon.

Cijferreeksen Example 4.png



Het antwoordt is nu 34 - 15 = 19.

Exponentieel verband

Bij een exponentieel verband zullen de getallen steeds groter of steeds kleiner worden, maar ze zullen ook steeds sneller groter (bij vermenigvuldiging) of steeds minder snel kleiner worden (bij delen door iets). Het simpelste voorbeeld van een exponentieel verband is:

2.....4.....8.....16.....?

De meeste mensen zullen zien dat er steeds met 2 wordt vermenigvuldigd en dat het antwoord dus 32 is. Hetzelfde geldt als we de reeks omdraaien:

32.....16.....8.....4.....?

Het is nu duidelijk dat er steeds door 2 gedeeld wordt. Er zijn echter ook variaties op het patroon, waardoor het moeilijker te herkennen is.

1.....2.....8.....48.....?

Je ziet dat er waarschijnlijk sprake is van een exponentieel patroon. De getallen worden steeds groter en de stap van 1 naar 2 is van een compleet andere orde dan van 8 naar 48. Je schrijft nu de vermenigvuldigboogjes op. Wees hier precies in, want je maakt snel fouten. Je ziet nu het patroon al ontstaan, maar je kunt voor de volledigheid ook nog een keer de optelboogjes tekenen.

Cijferreeksen Example 5.png

Het antwoord is 384. Er zijn nog meer variaties op het exponentiële patroon:

3.....14.....58.....234 ?

Je ziet wederom dat er sprake moet zijn van een exponentieel patroon. Je ziet echter ook meteen dat je 14 niet door 3 kunt delen. De vermenigvuldigboogjes schrijven zal je nu dus niet verder helpen. Er wordt hier namelijk vermenigvuldigd met een getal, maar daarnaast wordt er ook steeds een getal opgeteld. In dit geval is de reeks van de volgende vorm:

Cijferreeksen Example 6.png

Dit is echter best moeilijk te zien voor de meeste mensen. Als je het patroon niet meteen ziet, is er een manier om dit gemakkelijker te maken voor jezelf. Schrijf eerst de optelboogjes en schrijf daarna de vermenigvuldigboogjes. Omdat er steeds hetzelfde getal bij opgeteld wordt, kun je zo zien met welk getal er vermenigvuldigd wordt.

Cijferreeksen Example 7.png

Uiteraard zijn dit soort patronen ook mogelijk met een gedeeld door patroon. Zie bijvoorbeeld:

440.....216.....104.....48 ?

Dit patroon heeft de volgende basisvorm.

Cijferreeksen Example 8.png


Je kunt dit patroon vinden door de volgende boogjes te tekenen:

Cijferreeksen Example 9.png


Het wordt nog ingewikkelder als er patronen worden afgewisseld. Eigenlijk hoort dit soort patronen thuis in het volgende onderwerp, maar we zullen er hier toch eentje behandelen:

2.....7.....10.....23.....42 ?

Je ziet dat er bij dit patroon waarschijnlijk sprake is van vermenigvuldiging, hoewel het niet meteen overduidelijk is. Als je optelboogjes schrijft, wordt je ook niet veel wijzer. Als je een beetje door je wimpers kijkt, zie je wel dat er ongeveer met twee wordt vermenigvuldigd. Daarmee kun je het volgende patroon herkennen:

Cijferreeksen Example 10.png



Dit is een moeilijk patroon, maar hij kan zeker voorkomen!

Afwisselend patroon

Bij een afwisselend patroon, worden de bovengenoemde patronen afgewisseld. Soms worden er zelfs drie verschillende patronen afgewisseld. Bij dit soort patronen zul je aan het begin vaak even geen idee hebben wat er gebeurt met de getallen. Het is dan zaak om netjes de boogjes op te schrijven. Als een getal groter wordt kun je kijken of er in die stap wordt vermenigvuldigd of opgeteld. Wordt een getal bij een stap kleiner, dan kun je kijken of er sprake is van aftrekken of gedeeld door. Bijvoorbeeld:

4.....2.....6.....4.....12.....?

van getal 1 naar getal 2 wordt het getal groter, er kan sprake zijn van -2 of /2. Van getal 2 naar getal 3 kan er sprake zijn van *3 of +4. Van getal 3 naar getal 4 kan er eigenlijk alleen sprake zijn van -2, anders krijg je gekke getallen. Van getal 3 naar getal 4 kan er sprake zijn van +8 of van *3. Het lijkt erop alsof het patroon zo is gevonden!

Cijferreeksen Example 11.png

Een voorbeeld waar drie patronen worden afgewisseld:

9.....27.....36.....12.....?

Je ziet dat het waarschijnlijk is dat er eerst *3 dan +9 en dan /3 wordt gedaan. Het logische antwoord is nu 36. Er kan ook +18 zijn gedaan in de eerste stap, dan zou het antwoord 40 zijn. Het is hierbij dan ook zaak om goed naar de mogelijke antwoorden te kijken. Dit is soms een manier om je op het verkeerde been te zetten.

Cijferreeksen Example 13.png


Of is er toch sprake van het volgende patroon?

Cijferreeksen Example 14.png



Als je een korte reeks hebt met een afwisselend patroon, weet je soms niet zeker welke handeling er uitgevoerd wordt, zoals het bovenstaande voorbeeld laat zien. Kijk daarom goed naar de mogelijke antwoorden en probeer altijd eerst de meest logische optie. Hierboven is het bijvoorbeeld niet logisch dat van getal 2 naar getal 3 wordt vermenigvuldigd met 4/3, het is logischer eerst +9 te bekijken.

Er zijn nog veel meer verschillende mogelijkheden van afwisselende patronen, maar ze zijn allemaal gebaseerd op hetzelfde principe. Het is goed om heel veel te oefenen. Bij ons kun je vrijwel oneindig veel opgaven gratis maken!

Twee reeksen in één

Bij dit soort patronen zijn er eigenlijk twee patronen die door elkaar heen lopen. Als je chronologisch door de getallen heen gaat, is er geen touw aan vast te knopen. Dit komt omdat de reeksen onafhankelijk zijn van elkaar. Een voorbeeld:

8.....16.....32.....8.....128.....4.....?

Als je naar de eerste 3 getallen kijkt, lijkt je een makkelijk patroon te zien. Daarmee wordt je echter op het verkeerde been gezet. De boogjes zien er als volgt uit:

Cijferreeksen Example 12.png

Hier geldt ook weer dat er heel veel verschillende variaties op dit patroon mogelijk zijn. We hebben ontzettend veel oefenopgaven waar dit soort patronen in voorkomt, dus die kun je allemaal gaan oefenen!

Uitzonderingen

Om je op het verkeerde been te zetten zitten er vaak een paar uitzonderingen in een testreeks. We hebben hieronder een aantal veel voorkomende uitzonderingen uitgewerkt, zodat je die makkelijker kunt herkennen als je ze tegen komt.

Fibonacci

Bij een fibonacci reeks worden de getallen opgebouwd door de twee voorgaande getallen op te tellen. Deze reeks is relatief makkelijk te herkennen en komt ook nog best vaak voor. Het is er dus eentje waar je altijd makkelijk even op kunt scannen.

1.....2.....3.....5.....8.....13.....21.....etc

Of de variant waarbij de drie voorgaande getallen worden opgeteld:

0.....1.....2.....3.....6.....11.....20.....etc

Voorgaande getal aftrekken

Hierbij wordt het derde getal gevonden door het tweede getal min het eerste getal te doen. Eigenlijk gaat het hier om een soort van omgekeerde fibonacci. Bij deze reeks springen de getallen soms alle kanten op (vooral als er een negatief getal in voorkomt), dus dat is het moment om op dit patroon te checken. Bijvoorbeeld:

12.....16.....4.....-12.....-16.....-4.....12.....etc

Delen door voorgaande getal

Hierbij wordt een getal gevonden door de twee voorgaande getallen door elkaar te delen. Bijvoorbeeld:

3.....6.....2.....⅓.....⅙.....½.....3.....etc

Vermenigvuldigen met voorgaande getal

Zelfde principe, bijvoorbeeld:

1.....2.....2.....4.....8.....32.....256.....etc

Exponentieel

Een beetje verwarrend omdat we het eerder over exponentiële reeksen hebben gehad. In dit geval gaat het om bijvoorbeeld de volgende reeks:

4.....16.....36.....64.....100.....144.....196.....etc

Je kunt zien dat het hier om de volgende reeks gaat:

2^2.....4^2.....6^2.....8^2.....10^2.....12^2.....14^2.....etc

Je kunt scannen op de veelvoorkomende kwadraten en als je deze herkent weet je vrijwel meteen dat je met een dergelijke reeks te maken hebt. Wat je ook kunt hebben is dat er een kleine bewerking op deze reeks wordt gedaan. Denk dan bijvoorbeeld aan iets als:

2.....14.....34.....50.....98.....142.....194.....etc

Zo herken je niet meteen de kwadraten, maar je kun zien dat de reeks het volgende patroon heeft.

2^2-2 .....4^2-2.....6^2-2.....8^2-2.....10^2-2.....12^2-2.....14^2-2 .....etc

Daarnaast is er voor dit soort patronen een makkelijke truc om het volgende getal te berekenen. Schrijf de optelboogjes twee maal op en je hebt het patroon gevonden zonder getallen te kwadrateren.

Cijferreeksen Example 15.png

Hele flauwe uitzonderingen

Soms is er een vraag in de reeks om te testen of je ook out of the box kunt denken. Hier zul je vooral naar kunnen kijken als je geen enkele van de andere patronen kunt herkennen. Het is hierbij belangrijk om ook goed naar de mogelijke multiple choice antwoorden te kijken, dan heb je vaak meteen het antwoord. Denk bijvoorbeeld aan de volgende patronen:

Getallen worden steeds groter/kleiner

Voorbeeld:

2.....3.....8.....9.....13.....48.....?

Bij de multiple choice mogelijkheden zul je nu maar 1 getal zien dat groter is dan 48. Dus niet in paniek raken omdat je geen patroon vindt en gewoon dat getal kiezen.

Alleen even/oneven getallen

Voorbeeld:

8.....4.....32.....-1284.....36 ?

Hiervoor geldt hetzelfde. Als je er vrij zeker van bent dat er geen ander patroon van toepassing is, moet je goed naar de multiple choice antwoorden kijken.

Patronen met het aantal letters in een woord

Voorbeeld:

Bus.....Hond.....Petje.....Kracht

Je kunt zien dat het aantal letters in het woord steeds met 1 toeneemt, dus daar zal het antwoord ook aan moeten voldoen.

Breuken

Veel mensen hebben moeite met patronen met breuken en ze zijn vaak ook lastig. Het is belangrijk om de rekenregels voor breuken te kennen zoals je die lang geleden op de basisschool hebt geleerd. Verder zijn de reeksen met breuken grofweg in twee categorieën op te delen.

  1. “Normale patronen” waar breuken in voorkomen
  2. Een patroon boven de deelstreep en een patroon onder de deelstreep.

“Normale patronen” waar breuken in voorkomen

Bij dit soort patronen wordt een van de eerder genoemde patronen toegepast, maar dan op breuken. Bijvoorbeeld:

⅛.....¼.....½.....?

Het is duidelijk dat er steeds met 2 wordt vermenigvuldigd, het antwoord is 1.

Of bijvoorbeeld

½.....¾.....⅝.....⅞.....?

Door netjes de optelboogjes te schrijven, zie je de volgende reeks ontstaan:

Cijferreeksen Example 16.png



Raak dus niet meteen in paniek als je breuken ziet, vaak zal het gewoon een normaal patroon zijn. Het is wel belangrijk om in een zo vroeg mogelijk stadium te zien of je naar een normaal patroon moet zoeken, of dat je naar een patroon boven de streep en een patroon onder de streep zoekt.

Een patroon boven de deelstreep en een patroon onder de deelstreep.

Hier kunnen moeilijke reeksen tussen zitten. Scan een breukenreeks altijd even op “onlogische” breuken. Soms zal er bijvoorbeeld 3/12 staan. Dan moet je je meteen afvragen waarom er geen ¼ staat. Het antwoord is sowieso om jou van de wijs te brengen, maar het is goed om dat in een vroeg stadium te zien. Het is soms belangrijk om de breuken in je hoofd op verschillende manieren te schrijven, anders is het soms onmogelijk om een reeks met een patroon boven en onder de deelstreep op te lossen. Bijvoorbeeld:

Example 17-2.png



Het eerste dat opvalt is 9/15. Waarom staat hier geen 3/5 ? Verder is er op het eerste gezicht geen duidelijk patroon, dus moeten we voor alle andere breuken ook kijken hoe we ze het beste kunnen schrijven.

Bij het eerste getal zien we dat er door 4 gedeeld wordt en bij het derde getal zien we dat er door 6 gedeeld wordt. Kunnen we het tweede en vierde getal zo herschrijven dat het binnen dit patroon past? Op de volgende manier staat er eigenlijk hetzelfde en zien we opeens duidelijk wat de patronen zijn:

Example 17-3.png



Boven de streep wordt er steeds 1 opgeteld en onder de streep wordt er steeds 2 bij opgeteld.

Dit soort reeksen kunnen nog veel ingewikkelde worden, maar die zul je niet veel tegenkomen bij de uiteindelijke test. Een hersenkrakertje:

Cijferreeksen Example 18.png

Het is nu even zoeken hoe je de breuken kunt herschrijven. Je ziet meteen dat 7/7 gelijk is aan 1. Deze kun je dus zo schrijven als je wil als boven de streep maar hetzelfde getal als onder de streep staat. ¼ is te herschrijven als 2/8 of 3/12 of 4/16. ½ is ook te schrijven als 2/4, 3/6, 4/8 etc. Als je de reeks zo herschrijft, zie je het patroon ontstaan.

Cijferreeksen Example 19.png



Het antwoordt is dus 5/2 of 2 ½. Het is vaak even zoeken bij dit soort reeksen. Blijf er niet te lang in hangen, want dan heb je te weinig tijd voor de andere opgaven.

Succes met oefenen!


Cijferreeksen oefensets

15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
15 oefeningen
1 oefeningen